图像复原与重构

图像复原技术的主要目的是以预先确定的目标来改善图像。图像复原是一个客观过程，而图像增强是一个主观过程。图像复原试图利用退化现象的某种先验知识来复原被退化的图像。

图像退化/复原模型

  • 图像退化的定义：

    图像的退化是指图像在形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量下降（变坏）。

图像退化过程被建模为一个退化算子 $H$，该算子与一个加性噪声项共同对输入图像 $f(x,y)$ 进行运算，生成一幅退化图像 $g(x,y)$。
若 $H$ 是一个线性位置不变算子，则空间域中的退化图像为：
$$g(x,y)=h(x,y)\ast f(x,y) + \eta(x,y) $$

  • 其中：
    • $h(x,y)$ 是退化函数的空间表示
    • $\ast$ 表示卷积

由卷积定理可知，空间域中的卷积等同于频率域中的乘积，在频率域中的等效公式为：
$$G(x,y)=H(x,y)F(x,y) + N(x,y) $$

  • 其中：
    • 各项大写字母是上式中相应项的傅里叶变换。

滤波器

均值滤波器

均值滤波是典型的线性滤波算法，它是指在图像上对目标像素给一个模板，该模板包括了其周围的临近像素，再用模板中全体像素的平均值来代替像素值。常见的均值滤波器有算术均值滤波器、几何均值滤波器、谐波均值滤波器、逆谐波均值滤波器。

  1. 算术均值滤波器
    算术均值滤波器是图像处理中一种基本的线性滤波器，主要用于平滑图像和去除噪声。它通过计算像素邻域内的算术平均值来替换当前像素值，从而实现图像的平滑效果。
    算术均值滤波器的输出 $ g(x, y) $ 在位置 $ (x, y) $ 处的值由以下公式计算：
    $$ g(x, y) = \frac{1}{MN} \sum_{(s, t) \in S} f(s, t) $$
    其中：
    • $f(s, t)$ 是原始图像在位置 $f(s, t)$ 处的像素值。
    • $S$ 是以 $ (x, y) $ 为中心的邻域，大小为 $ M \times N $。
    • $ MN $ 是邻域内像素的总数。

  • 优点：

    1. 简单易实现：算术均值滤波器的计算过程非常简单，只需要基本的加法和除法操作。
    2. 有效平滑噪声：对于高斯噪声等随机噪声，算术均值滤波器能够有效地平滑图像，减少噪声的影响。

  • 缺点：

    1. 模糊边缘和细节：由于算术均值滤波器对所有像素一视同仁地进行平均处理，会导致图像的边缘和细节变得模糊。
    2. 不适合脉冲噪声：对于椒盐噪声等脉冲噪声，算术均值滤波器的效果不佳，可能会将噪声点扩散到周围区域。
  1. 几何均值滤波器
    几何均值滤波器的输出 $ g(x, y) $ 在位置 $ (x, y) $ 处的值由以下公式计算：
    $$ g(x, y) = \left( \prod_{(s, t) \in S} f(s, t) \right)^{\frac{1}{MN}} $$
    其中：
    • $f(s, t)$ 是原始图像在位置 $f(s, t)$ 处的像素值。
    • $S$ 是以 $ (x, y) $ 为中心的邻域，大小为 $ M \times N $。
    • $ MN $ 是邻域内像素的总数。

  • 优点：

    1. 较好地保留边缘信息：几何均值滤波器在平滑图像的同时，能够较好地保留图像的边缘和细节信息。
    2. 有效去除高斯噪声：对于高斯噪声，几何均值滤波器能够有效地平滑图像。

  • 缺点：

    1. 计算复杂度较高：由于涉及乘法和开方运算，几何均值滤波器的计算复杂度相对较高。
    2. 对0值敏感：如果邻域内存在0值像素，几何均值将为0，这在实际应用中可能会导致问题。
  1. 谐波均值滤波器
    谐波均值滤波器的输出 $ g(x, y) $ 在位置 $ (x, y) $ 处的值由以下公式计算：
    $$ g(x, y) = \frac{MN}{\sum_{(s, t) \in S} \frac{1}{f(s, t)}} $$
    其中：
    • $f(s, t)$ 是原始图像在位置 $f(s, t)$ 处的像素值。
    • $S$ 是以 $ (x, y) $ 为中心的邻域，大小为 $ M \times N $。
    • $ MN $ 是邻域内像素的总数。

  • 优点：

    1. 有效去除盐噪声：谐波均值滤波器对盐噪声（高像素值噪声）有较好的抑制作用。
    2. 较好地保留边缘信息：与算术均值滤波器相比，谐波均值滤波器在平滑图像的同时，能够较好地保留图像的边缘和细节信息。

  • 缺点：

    1. 计算复杂度较高：由于涉及倒数和除法运算，谐波均值滤波器的计算复杂度相对较高。
    2. 不适合胡椒噪声，对0值敏感：如果邻域内存在0值像素，倒数将无法计算，这在实际应用中可能会导致问题。当邻域内存在胡椒噪声（即 $ f(s, t) $ 接近0）时，其倒数 $ \frac{1}{f(s, t)} $ 会非常大。由于谐波均值滤波器是通过计算邻域内所有像素倒数之和的倒数，因此胡椒噪声的倒数会极大地影响最终的滤波结果，导致滤波后的像素值仍然接近于噪声的像素值，从而无法有效去除胡椒噪声。
  1. 逆谐波均值滤波器
    逆谐波均值滤波器的输出 $ g(x, y) $ 在位置 $ (x, y) $ 处的值由以下公式计算：
    $$ g(x, y) = \frac{\sum_{(s, t) \in S} f(s, t)^{Q+1}}{\sum_{(s, t) \in S} f(s, t)^Q} $$
    其中：
    • $f(s, t)$ 是原始图像在位置 $f(s, t)$ 处的像素值。
    • $S$ 是以 $ (x, y) $ 为中心的邻域。
    • $Q$ 是滤波器的阶数。

当 Q 值为正时，该滤波器消除胡椒噪声；当 Q 值为负时，该滤波器消除盐粒噪声；当 Q 值为正时，该滤波器消除胡椒噪声；注意，该滤波器不能同时消除这两种噪声。当 Q = 0 时，该滤波器简化为算术均值滤波器；当 Q = -1 时，该滤波器简化为谐波均值滤波器。

  • 去除胡椒噪声的原理：

    • 胡椒噪声表现为图像中的黑色斑点，即像素值非常低（接近0）。
    • 在逆谐波均值滤波器的计算中，低像素值的 $ f(s, t) $ 的 $ Q $ 次方和 $ Q+1 $ 次方都会非常小，因此在分子和分母中的贡献都很小。
    • 高像素值的 $ f(s, t) $ 的 $ Q $ 次方和 $ Q+1 $ 次方则会相对较大，因此在分子和分母中的贡献较大。

    由于胡椒噪声的像素值很低，它们在计算中的权重会被显著降低，而周围的正常高像素值则会主导滤波结果。这样，胡椒噪声点被有效地抑制，而图像中的正常亮区域得以保留。

  • 去除盐粒噪声的原理：

    • 盐噪声表现为图像中的白色斑点，即像素值非常高。
    • 在逆谐波均值滤波器的计算中，高像素值的 $ f(s, t) $ 的 $ Q $ 次方和 $ Q+1 $ 次方都会非常小（因为负次方导致值趋近于0），因此在分子和分母中的贡献都很小。
    • 低像素值的 $ f(s, t) $ 的 $ Q $ 次方和 $ Q+1 $ 次方则会相对较大，因此在分子和分母中的贡献较大。

    由于盐粒噪声的像素值很高，它们在计算中的权重会被显著降低，而周围的正常低像素值则会主导滤波结果。这样，盐噪声点被有效地抑制，而图像中的正常暗区域得以保留。